EBOB ve EKOK Hesaplama

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) değerlerini bulmak için 2 ila 20 adet sayı girin.

EBOB EKOK Hesaplama Aracı Nasıl Çalışır? Adım Adım Açıklama

EBOB EKOK Hesaplama aracımız, girdiğiniz iki veya daha fazla pozitif tam sayının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) ve En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulmak için standart matematiksel algoritmaları kullanır.

  1. Adım 1: Sayı Girişi: Kullanıcı, EBOB ve EKOK’unu hesaplamak istediği iki veya daha fazla pozitif tam sayıyı girer (örn: 48, 60).
  2. Adım 2: EBOB Hesaplama Algoritması: Araç, EBOB’u bulmak için genellikle iki yöntemden birini kullanır:
    • Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
      • Her bir sayıyı ayrı ayrı asal çarpanlarına ayırır (örn: 48 = 2⁴ * 3¹, 60 = 2² * 3¹ * 5¹).
      • Sayıların asal çarpanlarından **ortak olanları** belirler (Bu örnekte 2 ve 3 ortak).
      • Ortak asal çarpanlardan **üssü en küçük olanları** alır (2 için 2², 3 için 3¹).
      • Bu üslü ifadeleri çarparak EBOB’u bulur: EBOB(48, 60) = 2² * 3¹ = 4 * 3 = 12.
    • Öklid (Euclidean) Algoritması (Daha Verimli):
      • Büyük sayıyı küçük sayıya böler ve kalanı bulur (60 / 48 = 1, Kalan = 12).
      • Böleni (48) kalanla (12) değiştirir ve tekrar böler (48 / 12 = 4, Kalan = 0).
      • Kalan 0 olduğunda, **son bölen** (12) EBOB olur. Bu yöntem asal çarpanlara ayırmadan çok daha hızlıdır.
  3. Adım 3: EKOK Hesaplama Algoritması: Araç, EKOK’u bulmak için de genellikle iki yöntemden birini kullanır:
    • Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:
      • Sayıları asal çarpanlarına ayırır (48 = 2⁴ * 3¹, 60 = 2² * 3¹ * 5¹).
      • Asal çarpanlardan **ortak olanların üssü en büyük olanını** alır (2 için 2⁴, 3 için 3¹).
      • **Ortak olmayan** asal çarpanları da alır (5 için 5¹).
      • Bu üslü ifadeleri çarparak EKOK’u bulur: EKOK(48, 60) = 2⁴ * 3¹ * 5¹ = 16 * 3 * 5 = 240.
    • EBOB Kullanarak Hesaplama (Daha Hızlı):** İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK’larının çarpımına eşittir: Sayı1 * Sayı2 = EBOB(Sayı1, Sayı2) * EKOK(Sayı1, Sayı2). Bu formülden EKOK çekilebilir:
      • EKOK(Sayı1, Sayı2) = (Sayı1 * Sayı2) / EBOB(Sayı1, Sayı2)
      • EKOK(48, 60) = (48 * 60) / 12 = 2880 / 12 = 240. (EBOB daha önce hesaplandığı için bu çok daha verimlidir).
  4. Adım 4: Sonuçları Gösterme: Araç, hesaplanan EBOB ve EKOK değerlerini kullanıcıya gösterir.

EBOB ve EKOK Nedir? Temel Matematik Kavramları (2025)

EBOB ve EKOK, sayı teorisinin ve temel matematiğin önemli kavramlarındandır ve özellikle kesirlerle işlemler, periyodik olayların tekrarı gibi konularda karşımıza çıkar.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) – Obeb

İki veya daha fazla sıfırdan farklı tam sayıyı **aynı anda bölebilen en büyük pozitif tam sayıya** o sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. Eski adıyla Ortak Bölenlerin En Büyüğü (OBEB) olarak da bilinir.

Örnek: 12 ve 18 sayılarının bölenleri:

  • 12’nin Bölenleri: 1, 2, 3, 4, **6**, 12
  • 18’in Bölenleri: 1, 2, 3, **6**, 9, 18
  • Ortak Bölenler: 1, 2, 3, **6**
  • En Büyük Ortak Bölen (EBOB): **6**

EBOB, genellikle şu durumlarda kullanılır:

  • Kesirleri sadeleştirmek (Pay ve paydanın EBOB’una bölerek).
  • Büyük parçaları eşit ve en büyük boyutlarda daha küçük parçalara ayırmak (Örn: Kumaşları, tahtaları eşit bölme problemleri).
  • Gruplama problemleri (Örn: Farklı sayılardaki bilyeleri eşit sayıda gruplara ayırmak).

EKOK (En Küçük Ortak Kat) – Okek

İki veya daha fazla sıfırdan farklı tam sayının **ortak katlarının en küçüğüne** o sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. Eski adıyla Ortak Katların En Küçüğü (OKEK) olarak da bilinir.

Örnek: 4 ve 6 sayılarının katları:

  • 4’ün Katları: 4, 8, **12**, 16, 20, **24**, …
  • 6’nın Katları: 6, **12**, 18, **24**, 30, …
  • Ortak Katlar: **12**, **24**, 36, …
  • En Küçük Ortak Kat (EKOK): **12**

EKOK, genellikle şu durumlarda kullanılır:

  • Kesirlerde payda eşitlemek (Toplama, çıkarma işlemleri için).
  • Farklı zaman aralıklarında tekrarlayan olayların aynı anda ne zaman gerçekleşeceğini bulmak (Örn: İki zil farklı aralıklarla çalıyor, ne zaman birlikte çalarlar?).
  • Bütünleştirme problemleri (Örn: Küçük tuğlalardan küp yapmak, cevizleri saymak gibi).

EBOB EKOK Hesaplama aracı, bu temel işlemleri hızlı ve hatasız yaparak matematik problemlerinin çözümünü kolaylaştırır.

EBOB ve EKOK Hesaplama Yöntemleri: Detaylı Örnekler

Aracın kullandığı algoritmaları örneklerle pekiştirelim.

Örnek: EBOB(72, 90) ve EKOK(72, 90) Bulma

1. Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi:

  • Adım 1: Asal Çarpanları Bul
    • 72 = 8 * 9 = 2³ * 3²
    • 90 = 9 * 10 = 3² * (2 * 5) = 2¹ * 3² * 5¹
  • Adım 2: EBOB Hesabı (Ortak Asallar, En Küçük Üsler)
    • Ortak Asallar: 2 ve 3
    • En Küçük Üsler: 2¹ (2³ ve 2¹ den küçük olan), 3² (İkisi de 3²)
    • EBOB(72, 90) = 2¹ * 3² = 2 * 9 = **18**
  • Adım 3: EKOK Hesabı (Tüm Asallar, En Büyük Üsler)
    • Tüm Asal Tabanlar: 2, 3, 5
    • En Büyük Üsler: 2³ (2³ ve 2¹ den büyük olan), 3² (İkisi de 3²), 5¹ (Sadece 90’da var)
    • EKOK(72, 90) = 2³ * 3² * 5¹ = 8 * 9 * 5 = 72 * 5 = **360**

2. Öklid Algoritması ile EBOB ve Sonra EKOK Bulma:

  • Adım 1: EBOB Hesabı (Öklid)
    • 90 / 72 = 1, Kalan = 18
    • 72 / 18 = 4, Kalan = 0
    • Kalan 0 olduğunda son bölen EBOB’dur: **EBOB(72, 90) = 18**
  • Adım 2: EKOK Hesabı (Formülle)
    • EKOK(72, 90) = (72 * 90) / EBOB(72, 90)
    • EKOK(72, 90) = (72 * 90) / 18
    • EKOK(72, 90) = 6480 / 18 = **360**

Gördüğünüz gibi her iki yöntem de aynı sonucu verir, ancak Öklid algoritması ve formül kullanmak genellikle daha hızlıdır.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

  • EBOB ile OBEB, EKOK ile OKEK aynı şey midir?
    Evet. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü) aynı anlama gelir. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ve OKEK (Ortak Katların En Küçüğü) de aynı anlama gelir. Güncel müfredatta EBOB ve EKOK kısaltmaları kullanılmaktadır.
  • Aralarında asal sayıların EBOB ve EKOK’u kaçtır?
    Aralarında asal sayıların (1’den başka ortak böleni olmayan sayılar, örn: 8 ve 15) EBOB’u her zaman **1**’dir. EKOK’u ise bu sayıların **çarpımına** eşittir (EKOK(8, 15) = 8 * 15 = 120).
  • Birbirinin katı olan sayıların EBOB ve EKOK’u kaçtır?
    Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise (örn: 10 ve 30), EBOB her zaman **küçük sayıya** (10), EKOK ise her zaman **büyük sayıya** (30) eşittir.
  • EBOB ve EKOK sadece iki sayı için mi hesaplanır?
    Hayır. İkiden fazla sayı için de EBOB ve EKOK hesaplanabilir. Asal çarpanlara ayırma yöntemi aynı şekilde uygulanır (EBOB için tüm sayılarda ortak olan asalların en küçük üsleri, EKOK için tüm sayılarda geçen asalların en büyük üsleri alınır). Öklid algoritması ise genellikle ikili gruplar halinde uygulanarak genişletilir.
  • Hesaplama aracı negatif sayıları kabul ediyor mu?
    EBOB ve EKOK tanımları genellikle pozitif tam sayılar için yapılır. Hesaplama araçları da genellikle sadece pozitif tam sayıları kabul eder. Negatif sayılar dahil edilmek istendiğinde, genellikle sayıların mutlak değerleri üzerinden hesaplama yapılır.
  • EBOB ve EKOK nerelerde kullanılır?
    Matematik eğitiminde temel konulardır. Pratik hayatta, periyodik olayların senkronizasyonu (nöbetler, zil çalma zamanları), kaynakların eşit paylaşımı (kumaş bölme, fayans döşeme), kesirlerle işlemler gibi alanlarda kullanılır. Ayrıca bilgisayar algoritmalarında ve kriptografide de uygulamaları vardır.