Kombinasyon Hesaplama Aracı

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını (C(n, r)) hesaplayın.

* Doldurulması zorunlu alanlar.

Kombinasyon Hesaplama Aracı Nasıl Çalışır? Adım Adım Açıklama

Kombinasyon Hesaplama aracımız, belirli sayıda nesneden oluşan bir küme içerisinden, **sıra gözetmeksizin** belirli sayıda nesnenin kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplar. Matematikte “n’in r’li kombinasyonu” olarak bilinen C(n, r) veya nCr değerini bulur.

  1. Adım 1: Toplam Nesne Sayısını (n) Girin: Seçim yapılacak olan ana kümedeki toplam eleman veya nesne sayısını girin (örn: Bir sınıftaki 10 öğrenci). Bu değer 0 veya daha büyük bir tam sayı olmalıdır.
  2. Adım 2: Seçilecek Nesne Sayısını (r) Girin: Bu ana kümeden kaç tane eleman seçeceğinizi girin (örn: Bu öğrencilerden 3 kişilik bir grup seçmek). Bu değer, 0 ile n arasında (0 ≤ r ≤ n) bir tam sayı olmalıdır.
  3. Adım 3: Kombinasyon Formülünü Uygulama: Araç, standart kombinasyon formülünü uygular:

    C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]

    • n! (n faktöriyel): n sayısından 1’e kadar olan tam sayıların çarpımıdır (Bkz: Faktöriyel Hesaplama).
    • r! (r faktöriyel): Seçilecek nesne sayısının faktöriyelidir.
    • (n-r)! : Toplam nesne sayısı ile seçilecek nesne sayısı arasındaki farkın faktöriyelidir.
  4. Adım 4: Hesaplama: Araç, faktöriyel değerlerini hesaplar ve formüldeki bölme işlemini gerçekleştirir.

    Örnek C(10, 3):
    n = 10, r = 3
    n! = 10! = 3,628,800
    r! = 3! = 3 * 2 * 1 = 6
    (n-r)! = (10-3)! = 7! = 5,040
    C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = 3,628,800 / (6 * 5,040)
    C(10, 3) = 3,628,800 / 30,240 = 120

    Kısa Yol (Sadeleştirme): C(10, 3) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 720 / 6 = 120. Araçlar genellikle bu daha verimli sadeleştirme yöntemini kullanır.

  5. Adım 5: Sonucu Gösterme: Araç, n nesneden r nesnenin kaç farklı şekilde (sıra önemsiz olarak) seçilebileceğini gösteren C(n, r) değerini (örn: 120) gösterir.

Kombinasyon Nedir? Seçim Yapmanın Matematiği (2025)

Kombinasyon, matematikte (özellikle kombinatorik ve olasılık alanlarında), n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını ifade eder. Buradaki kilit nokta, seçim yapılırken elemanların **sırasının önemli olmamasıdır**. Yani {A, B, C} seçimi ile {C, B, A} seçimi aynı kombinasyonu temsil eder.

Eğer seçilen elemanların **sırası önemli olsaydı**, bu işleme Permütasyon denirdi. Kombinasyon sadece “hangi elemanların seçildiği” ile ilgilenir, “hangi sırayla seçildiği” ile ilgilenmez.

Kombinasyon kavramı, hayatın birçok alanında farklı olasılıkları ve seçimleri hesaplamak için kullanılır:

  • Olasılık Hesaplamaları:** Şans oyunlarında (Loto, Piyango) kazanma olasılığını hesaplamak (örn: 49 sayıdan 6’sını kaç farklı şekilde seçebilirim?), kart oyunlarında belirli bir eli çekme olasılığını bulmak.
  • Grup ve Komite Seçimi:** Belirli sayıda kişi arasından belirli sayıda üye içeren kaç farklı komite veya takım oluşturulabileceğini hesaplamak.
  • Örneklem Seçimi (İstatistik):** Bir ana kütleden (popülasyon) belirli büyüklükte kaç farklı örneklem seçilebileceğini belirlemek.
  • Kalite Kontrol:** Üretilen bir parti üründen rastgele seçilecek belirli sayıda ürünü test etmek için kaç farklı seçim yapılabileceği.
  • Bilgisayar Bilimleri:** Algoritma tasarımında, veri yapılarında (alt küme problemleri) ve ağlarda kullanılır.
  • Menü Seçenekleri:** Bir restoranda belirli sayıda başlangıç, ana yemek ve tatlı arasından kaç farklı menü kombinasyonu oluşturulabileceği.

Kombinasyon Hesaplama aracımız, bu tür “kaç farklı şekilde seçebilirim?” sorularına hızlı ve doğru yanıtlar vermenizi sağlar.

Kombinasyon ve Permütasyon Arasındaki Fark Nedir?

Bu iki kavram sıkça karıştırılır, ancak aralarındaki fark temeldir:

  • Kombinasyon (Combination – Seçme):
    • **Sıra ÖNEMSİZDİR.**
    • Sadece hangi elemanların seçildiği önemlidir.
    • Örnek: 3 kişilik bir gruptan 2 kişi seçmek ({A, B}, {A, C}, {B, C} – 3 farklı kombinasyon). {A, B} ile {B, A} aynıdır.
    • Formül: C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]
  • Permütasyon (Permutation – Sıralama/Diziliş):
    • **Sıra ÖNEMLİDİR.**
    • Hem hangi elemanların seçildiği hem de hangi sırayla dizildiği önemlidir.
    • Örnek: 3 kişilik bir gruptan 2 kişiyi seçip başkan ve yardımcı olarak sıralamak (AB, BA, AC, CA, BC, CB – 6 farklı permütasyon). AB ile BA farklıdır.
    • Formül: P(n, r) = n! / (n-r)!

Genellikle, bir problemde “grup”, “takım”, “komite”, “alt küme” gibi ifadeler varsa kombinasyon; “sıralama”, “diziliş”, “şifre”, “yarışta ilk üç” gibi ifadeler varsa permütasyon kullanılır.

Kombinasyon Formülü: Detaylı Açıklama ve Örnek

Kombinasyon formülü C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!] şu şekilde çalışır:

  1. n! (Toplam Permütasyon):** Öncelikle n nesnenin tüm olası sıralanışlarının sayısını buluruz.
  2. (n-r)! (Seçilmeyenlerin Sıralanışı):** r tane nesne seçtiğimizde, geriye kalan (n-r) tane nesnenin kendi arasındaki sıralanışlarını formülden çıkarmamız gerekir, çünkü bu sıralamalar bizi ilgilendirmez. Bu yüzden n!’i (n-r)!’e böleriz. Bu bize P(n, r)’yi (n nesneden r tanesinin sıralanışı) verir. P(n, r) = n! / (n-r)!
  3. **r! (Seçilenlerin Sıralanışı):** Ancak kombinasyonda seçilen r nesnenin kendi arasındaki sıralanışı da önemli değildir ({A, B} ile {B, A} aynıdır). Seçilen r nesnenin kendi arasında r! kadar farklı sıralanışı vardır. Bu fazlalığı gidermek için P(n, r) sonucunu bir de r!’e böleriz.

Sonuç olarak C(n, r) = P(n, r) / r! = [n! / (n-r)!] / r! = n! / [r! * (n-r)!] formülüne ulaşırız.

Örnek: 4 harf {A, B, C, D} arasından 2 harf seçimi C(4, 2):

  • Permütasyonlar (Sıra önemli): AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC (Toplam P(4, 2) = 4!/(4-2)! = 24/2 = 12 tane)
  • Kombinasyonlar (Sıra önemsiz): {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D} (Toplam C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 24 / (2 * 2) = 6 tane)
  • Formül Sağlaması: C(4, 2) = P(4, 2) / 2! = 12 / 2 = 6.

Sıkça Sorulan Sorular (SSS)

  • C(n, r) ile C(n, n-r) neden eşittir?
    Matematiksel olarak formülde r yerine (n-r) yazdığınızda aynı sonucu elde edersiniz: n! / [(n-r)! * (n-(n-r))!] = n! / [(n-r)! * r!]. Mantıksal olarak ise, n nesneden r tane seçmek ile n nesneden seçilmeyecek (n-r) taneyi seçmek aynı sayıda farklı yol içerir.
  • C(n, 0) neden 1’dir?
    n elemanlı bir kümeden 0 eleman seçmenin tek bir yolu vardır: hiçbirini seçmemek (boş kümeyi seçmek). Formülle de n! / (0! * n!) = n! / (1 * n!) = 1 bulunur (Çünkü 0! = 1 kabul edilir).
  • C(n, 1) neden n’dir?
    n elemanlı bir kümeden 1 eleman seçmenin n farklı yolu vardır (her bir elemanı tek tek seçebilirsiniz). Formülle de n! / (1! * (n-1)!) = (n * (n-1)!) / (1 * (n-1)!) = n bulunur.
  • “Tekrarlı Kombinasyon” nedir?
    Standart kombinasyonda her nesne sadece bir kez seçilebilir. Tekrarlı kombinasyonda ise bir nesne birden fazla kez seçilebilir (Örn: 3 çeşit dondurmadan 2 top seçmek – aynı çeşidi iki kez seçebilirsiniz). Formülü farklıdır: C(n+r-1, r). Bu araç genellikle standart (tekrarsız) kombinasyonu hesaplar.
  • Hesaplama aracı çok büyük n ve r değerleri için çalışır mı?
    Faktöriyel değerleri çok hızlı büyüdüğü için, n ve r değerleri arttıkça sonuç da çok büyür. Hesaplama araçları, kullanılan programlama dilinin veya kütüphanenin sınırlarına bağlı olarak belirli bir büyüklükten sonra (örn: C(70, 35) gibi) hesaplama yapamayabilir veya sonuçları bilimsel gösterimle (örn: 1.16e+20) verebilir.
  • Kombinasyon hesaplamanın pratik bir örneği nedir?
    Bir şirketteki 20 çalışandan 4 kişilik bir proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir? Sıra önemli olmadığı için Kombinasyon(20, 4) hesaplanır: C(20, 4) = (20 * 19 * 18 * 17) / (4 * 3 * 2 * 1) = 116280 / 24 = 4845 farklı ekip oluşturulabilir.